[Mo] Auswertung der dritten Runde der 61. MO

[Hans-Gert Gräbe]

Liebe Freunde der Mathematik-Olympiade,

bisher liegt mir nur eine Teilauswertung der dritten Runde der 61. MO 
von Sachsen vor.  Die dritte Stufe wurde dort dezentral an nur einem Tag 
den Schulen geschrieben, dabei wurden die Aufgaben des zweiten Tags 
verwendet. Die TN-Zahlen haben sich gegenüber dem Coronajahr 2021 wieder 
erholt und liegen bei etwa 70% eines Präsenzwettbewerbs.

Mit freundlichen Grüßen,
Hans-Gert Gräbe

-- 

   Prof. Dr. Hans-Gert Graebe, Univ. Leipzig, InfAI
   Hochschullehrer im Ruhestand
   Leiter der Arbeitsgruppe Systematische Innovationsmethodiken
   tel. : +49-172-7622013
   email: graebe at infai.org
   Home Page: http://www.informatik.uni-leipzig.de/~graebe
-------------- nächster Teil --------------

        Auswertung Matheolympiade (winter, BK Leipzig 6-8, Stufe 3)

Durchschnittlich erreichte Punktzahl in Prozent der Höchstpunktzahl

Klasse |  TN  | A1   A2   A3   A4   A5   A6 
=============================================
   06  |  23  |                80   96   71 
   07  |  21  |                52   62   33 
   08  |  18  |                66   42   14 

Bemerkungen zu einzelnen Aufgaben:

610634: Das Problem hier ist die Aufgabenstellung selbst. Gibt es überhaupt
  eine solche Reihenfolge? Die gibt es hier tatsächlich - aber eher
  "zufällig", weil es jeweils eine ungerade Anzahl von Kindern ist (wobei 2
  auch möglich wäre). Wenn man die Musterloesung anschaut, so wird überhaupt
  nicht darauf eingegangen, dass eine solche Reihenfolge eben nicht immer
  existiert. Es wird nur die Gesamtzahl der Ballwechsel ausgerechnet.
  Eigentlich löst die Musterlösung eine andere Aufgabe.

  Ich hatte in der Erstkorrektur allen Schülern jeweils einen Punkt abgezogen,
  wenn sie z.B. bei a) so etwas geschrieben haben wie "Kind 1 wirft zu 2, 3, 4
  und 5; Kind 2 dann zu 3, 4 und 5; ...", denn das ist ja nun wirklich nicht
  mit EINEM Ball, der IN EINER VORGEGEBENEN REIHENFOLGE einander zuzuwerfen
  ist, machbar. Der Punktabzug erfolgte übrigens nicht pro Aufgabenteil,
  sondern nur einmal für die gesamte Aufgabe.

  Allerdings wurde dies vom Koordinator rückgängig gemacht mit dem Hinweis auf
  die Musterloesung, die jedoch nicht die tatsächlich gestellte Aufgabe löst,
  wie man ja - übertragen auf das Beispiel von 4 Kindern - sofort sieht.

  Wenn man die Schueler einfach ausrechnen lassen will, wie viele Verbindungen
  es zwischen $n$ Punkten gibt (dafür steht ja die Musterloesung), dann sollte
  man nicht irgendeine gekünstelte Anwendung drüberlegen. Das geht meistens
  schief. (Aber so sind halt die modernen Zeiten. Alles muss irgendeinen
  Pseudoanwendungsbezug haben.)

  Was die Schülerleistungen betrifft, so war die Aufgabe sehr leicht - wenn
  man die Reihenfolgenproblematik außer Betracht lässt. Die haben nicht alle
  beachtet. Kleine Probleme gab es beim Errechnen des Werts bei 29 Kindern.
  (c. fleischhack)

610635: Aufgabe war für die Landesrunde zu einfach.  Interessant: Es gab auch
  Lösungen mit Hilfe eines Diagramms.

610636: Der Schwierigkeitsgrad war angemessen.  Bei der Bruchrechnung wurde
  teilweise addiert statt multipliziert.

610734: Ca. 6 Teilnehmer haben eine Gewinnstrategie gefunden, die sich kurz
  formulieren lässt.  Viele weitere Teilnehmer haben richtig erklärt, wie Mia
  spielen kann, um zu gewinnen, ohne aber alle Antwortmöglichkeit von Hannah
  zu berücksichtigen.  Vielen Teilnehmern fehlt es noch am Verständnis und an
  der Technik dafür, dass die Siegmöglichkeit für Mia nachgewiesen werden
  soll.  Die Aufgabe war angemessen für diese Wettbewerbsstufe.
  (k.-d. kuersten)

610735: In der Aufgabenformulierung fehlt die Aussage, dass Ivanka außer den
  genannten Summen 103, 122, 141 keine weiteren Summen erhält. Dies machte
  eine gerechte Bewertung sehr schwer, zumal die Korrektoren angesichts der
  dezentralen Durchführung des Wettbewerbs nicht wissen konnten, welche
  Hinweise gegeben wurden. Ca. 4 Teilnehmer sind von der wörtlich verstandenen
  Aufgabenformulierung ausgegangen.

  Ansonsten wurden die Zahlen von fast allen Teilnehmern gefunden, und in etwa
  der Hälfte der Lösungen wurden die gesuchten Zahlen (eventuell mit Lücken in
  der Argumentation) eindeutig bestimmt. Ungleichungen zwischen den Zahlen
  wurden sehr selten verwendet.
  
  Mit genauerer Formulierung wäre diese Aufgabe angemessen für diese
  Wettbewerbsstufe. (k.-d. kuersten)

610736: Fast alle Teilnehmer haben die Übereinstimmung in jeweils zwei
  entsprechenden Seitenlängen bemerkt, aber den weiteren wesentlichen
  Lösungsschritt haben nur ca. 4 von ihnen (mit jeweils individueller Idee)
  gefunden.

  Die Aufgabe war angemessen. Sie war eigentlich leicht, aber geometrische
  Kenntnisse sind vermutlich im Teilnehmerkreis noch nicht weit entwickelt.
  (k.-d. kuersten)

610834: Die Aufgabe war als Einstiegsaufgabe gut geeignet. Mehr als die Hälfte
  der Teilnehmer kamen gut bis sehr gut mit der Aufgabe zurecht. Der
  Schwierigkeitsgrad war angemessen. Aufgrund der Redundanz einiger
  Voraussetzungen und möglicher Abschätzungen, die aus den Währungsangaben
  direkt ablesbar waren ($1S > 10H$, $1G > 17S$), gab es viele verschiedene
  sinnvolle Lösungsansätze.  Einige Teilnehmer hatten das Problem, den
  Gewinnanteil als Produkt aus Wert und Dauer der Anlage zu erkennen.
  (a. schueler)

610835: Die Aufgabe ist gut verständlich. Nur 1-2 Schüler haben nicht
  beachtet, dass bei den Zahlen mit Ziffer 1 auch die Zahlen 1-99 mitgezählt
  werden.

  Die Einstiegshürde für die Schüler ist sehr klein. Sie können durchaus mit
  Probieren starten und dabei auch Lösungen finden.

  Aus dem Probieren entstehen dann sehr viele verschiedene Ideen, wie man das
  systematisieren und ordentlich begründen kann. Ich war wirklich überrascht
  wie viele verschiedene Strategien die Schüler hier gefunden haben (z.B. von
  oben zählen, von unten zählen, grafisch, in Zweierschritten, mit Tabellen,
  mit einer Gleichung).
  
  Mit dem Probieren, Systematisieren und Begründen sind die Schüler auch sehr
  verschieden weit gekommen, womit die Aufgabe gut streut. Dabei gab es auch
  alle möglichen Konstellationen (von richigen Lösungen, aber (fast) keine
  Begründung bis (fast) die komplette Begründung, aber nicht alle oder falsche
  Lösungen).

  Eine Schwierigkeit für die Schüler ist sicher, dass sie in den meisten
  Lösungen relativ oft die Zahlen mit mindestens einer Ziffer 1 bis zur Zahl
  $x$ bestimmen. Dabei passieren dann leicht mal kleine Fehler, womit doch ein
  paar Schüler auf knapp falsche Lösungen gekommen sind (z.B. 162 statt 160).
  (s. kuersten)

610836: Diese Aufgabe war sehr schwer; nur vier von 20 Teilnehmern haben Teil
  a) der Aufgabe gelöst. Teil b) wurde von keinem gelöst.
  
  Ein sehr verbreiteter Fehler beim Beweisen von a) lag darin, dass
  irgendwelche bekannten Parallelogrammeigenschaften als gegeben angenommen
  wurden (etwa die Parallelität der Geraden AI und BH bzw. AH und BI; oder M
  ist MIttelpunkt von Strecke HI). Daraus wurde dann abgeleitet, dass die
  Nebenwinkel sich zu 180° ergänzen oder die Gegenwinkel gleich sind, also
  weitere Parallelogrammeigenschaften. Die Voraussetzungen der Aufgabe (IC ist
  Durchmesser des Umkreises, H ist Höhenschnittpunkt) wurden oft völlig
  ignoriert. Viele scheiterten schon am Erstellen einer sauberen, großen,
  aussagekräftigen Skizze - viele Skizzendreiecke waren fast gleichseitig.
  (a. schueler, c. fleischhack)



        Auswertung Matheolympiade (schaefer, Sachsen 9-12, Stufe 3)

Durchschnittlich erreichte Punktzahl in Prozent der Höchstpunktzahl

Klasse |  TN  | A1   A2   A3   A4   A5   A6 
=============================================
   09  |  33  |                48   56   23 
   10  |  29  |                55   81   29 
   11  |  20  |                58   25   26 
   12  |  13  |                77   40   19 

Bemerkungen zu einzelnen Aufgaben:

610936: Mit Teil a) gab es kaum Probleme, wenn man Termumformungen
  beherrschte.  Erschreckend allerdings, dass 4 der 30 Teilnehmer, die die
  Aufgabe überhaupt bearbeitet haben, da abenteuerliche Vorstellungen hatten.

  Bei Teil b) wurde oft erkannt, dass die Ungleichung für $a\le 1/3$ dann auch
  gilt (noch kein Punkt). Einige TN haben wenigstens zielgerichtet umgeformt
  und waren dann in der Lage zu zeigen, dass die Ungleichung für $a\ge 1$ (1
  TN), für $a\ge 1/2$ (1 TN) nicht gilt oder für $a\le 2/5$ (1 TN) gilt. Kein
  TN hat den Charakter einer quadratischen Funktion erkannt und folglich
  fehlten stets wenigstens 4 Punkte.

611036: Als Aufgabe 6 hat die Aufgabe korrekterweise den Anspruch, schwer zu
  sein.
  
  c) Von den meisten Schülern konnte ein Gegenbeispiel erbracht werden.  Es
  war nicht trivial, aber dennoch recht einfach zu erledigen, also zwei
  leichte Punkte.

  a) Die Schüler haben meistens herausgefunden, dass die Münzwerte von einer
  zur nächsten Zahl mindestens das Zweifache betragen und dass das wohl die
  Bedingung sei, weshalb der Algorithmus funktionieren würde. Dass es für
  diese Aussage ein Gegenbeispiel gibt (1, 4, 9 und daraus 12 = 9+1+1+1 =
  4+4+4), hat dann natürlich die Argumentation, die auf dem "mindestens
  Zweifachen" fußte, sofort zunichte gemacht. Es gab zwei zaghafte Ansätze,
  über einen indirekten Beweis und eine "Lückendiskussion" zum Ziel zu kommen,
  beide wurden honoriert, aber der Beweis war dennoch nicht perfekt
  ausformuliert.

  b) Wer in a) einen falschen Ansatz gewählt hat und das in b) verallgemeinern
  will, kommt natürlich nicht zum Ziel.

  Fazit: Wenn eine Musterlösung (die bekanntermaßen normalerweise eher kurz
  und knackig gehalten wird) mehr als eine dichtbeschriebene A4-Seite Text
  enthält, sollte man hinterfragen, ob diese Aufgabe für eine 3. Stufe
  geeignet ist. Ich fand die Aufgabe jedenfalls nicht passend und habe mich
  auch nicht darüber gewundert, dass die Schüler mehrheitlich "Angstprosa"
  abgeliefert haben. Das Ergebnis, dass bis auf 2 Lösungen sämtliche Arbeiten
  mit 0-2 Punkten bewertet werden mussten, zeigt, dass die Aufgabe zu schwer
  war. Es war noch nicht der "Pirlsche Hammer" aber gefühlt nahe dran ;)
  (m. kugel)

611235: Zur Aufgabenstellung: Schwierigkeitsgrad angemessen. Nicht so viel
  Geometrie, aber gut kombiniert mit einer Rechenaufgabe. Lässt sehr viele
  verschiedene Lösungsmöglichkeiten zu.  Im Prinzip musste man nur genügend
  viele Gleichungen zu den 3 Radien und zu den Seiten des Dreiecks BPF
  aufstellen. Geschickte Auswertung und zielgerichtete Umformung führte dann
  fast immer zum Ziel.

  Zu den Schülerlösungen: Die vielen Lösungsmöglichkeiten wurden genutzt, kaum
  zwei auch nur ähnliche Lösungen. Oft unvollständige Begründung einzelner
  Schritte, überwiegend liederliche Skizzen. Rechenfehler bzw. Fehler bei
  notwendigen Umformungen. Originelle Lösungen über Tangensfunktion
  bzw. Inkreisradius. (m. ketelsen, u. hutschenreiter, a. noack)

611236: Diese Aufgabe wurde von keinem Schüler vollständig gelöst. Im
  Durchschnitt gab es 1/5 (in Klasse 12) bzw. 1/4 (in Klasse 11) der
  Punktzahl. Die Aufgabe war für eine Landesrunde zu schwer, für eine
  Bundesrunde wäre sie angebracht.

  Paritätsuntersuchungen wurden gemacht, aber oft nicht ausreichend. Bei der
  vereinfachten Gleichung $n^4 = 2k(k+1)$ wurde die Teilerfremdheit meist
  nicht erkannt und damit auch nicht die wichtige Zerlegung in zwei vierte
  Potenzen auf der rechten Seite. Wenige Schüler stellten
  Kongruenzbetrachtungen modulo 2,4,5,8,10 an und erhielten, dass $n$ durch 10
  teilbar sein muss. Die dahinterstehende Pellsche Gleichung $1+ 2n^2 =m^2$
  wurde als solche nicht erkannt. (a. schueler)